domingo, 10 de junio de 2012

Elementos: punto, recta y plano

En la figura observamos los dos planos que se cortan ortogonalmente y sobre los que se proyectan los objetos, el de planta (horizontal) y el del alzado (vertical). Los dos planos dividen el espacio en cuatro partes: el primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante.















Se puede utilizar otro plano de proyección para dar más información sobre el objeto a representar. Este plano se llama de perfil y es perpendicular a la línea de tierra, que es la intersección del plano de la planta y del alzado (en magenta).
Observamos la división en cuatro cuadrantes (del 1º al 4º) que generan los planos de planta y alzado.
Los tres planos de proyección dividen el espacio en 8 partes.















La representación de un punto en sistema diédrico viene dada por sus proyecciones ortogonales sobre los tres planos: un punto P se transforma en sus 3 proyecciones P1 P2 P3.













A continuación los planos se abren hasta que queden todos coplanares: giramos el plano de perfil 90º respecto al vertical y una vez que queda en el mismo plano que éste, g
iramos el vertical (y de perfil, que ya forman un mismo plano) 90º respecto al horizontal, con lo que tenemos los 3 planos coincidentes con el papel en que lo representamos. Del giro de los planos se desprende que las proyecciones del punto siempre están alineadas en perpendiculares respecto a la línea de intersección de cada par de planos. Todo lo que forma parte del espacio: el punto P, sus líneas de proyección (de P a P1, de P a P2, etc.), desaparece. En diédrico sólo se representa lo que queda proyectado sobre los 3 planos de proyección.














Así quedan las vistas diédricas de un punto: la planta, alzado y perfil son siempre correlativas.
















Planos

Un plano se representa por la intersección con los planos de proyección, a estas intersecciones se les llama trazas. El plano rojo a corta a los planos de proyección según las trazas a1 (traza horizontal) a2 (traza vertical) a3 (traza de perfil).















Teorema para todos los planos: las trazas de un plano siempre se cortan en un mismo punto sobre la línea de tierra. (Pues una recta –LT- corta a un plano en un punto, si lo hace en dos o más es que está contenida en él, en este caso las trazas coinciden en todos sus puntos sobre la LT, se dice que el plano pasa por la LT).



Un plano oblicuo c tiene sus trazas oblicuas (nunca ortogonales) respecto a la línea de tierra.




























Otro tipo de plano oblicuo.














Planos bisectores el primer bisector 1b y segundo 2b, bisecan al plano horizontal y vertical.














Plano de canto o proyectante vertical: tiene la traza vertical a2 oblicua y la horizontal a1 ortogonal a la LT.














El plano de perfil tiene sus dos trazas perpendiculares a la línea de tierra.













Plano frontal f: es paralelo al vertical y su traza horizontal es paralela a la LT.














Plano horizontal h es paralelo al horizontal y su traza vertical h2es paralela a la LT.














Plano paralelo a la LT: tiene sus trazas p1 p2 paralelas a la LT.















Plano que pasa por la línea de tierra: tiene sus trazas en la LT.
















Plano vertical, tiene la traza vertical a2 vertical, la horizontal debe ser oblicua, sino tenemos un plano de perfil.














Rectas

Las rectas se representan por sus proyecciones aunque también se pueden definir por sus trazas (puntos donde corta a los planos de proyección).
La recta a y sus proyecciones que la definen: a1 a2.
Su traza horizontal Ha y la vertical Va.













Una recta queda definida por dos proyecciones que pueden ser su planta y alzado o planta y perfil o perfil y alzado, etc.













La recta a penetra por encima de Va en el 2º cuadrante, por debajo de Ha en el 4º cuadrante y son visibles sus proyecciones en el 1º cuadrante. Por convenio las partes no visibles se representan discontinuas.













Aquí tenemos la misma recta a en sistema diédrico definida por sus proyecciones a1 a2 con los cuadrantes por los que pasa.













Aquí observamos la representación de una recta oblicua con sus trazas sobre el plano horizontal Hr y vertical Vr.













La representación diédrica de la recta anterior














Una recta frontal, paralela al plano vertical y oblicua respecto al horizontal.















Una recta paralela a la LT.















Una de perfil, que se puede incluir en un plano ortogonal a la LT. Los casos particulares de la de perfil son la horizontal, vertical y la que pasa por la LT.














Una recta de punta, ortogonal al PV.















Una vertical, ortogonal al PH.














Rectas y planos en sistema diédrico

Las rectas se representan por sus proyecciones y llevan señalado en rojo sus trazas que son los puntos donde cortan a los planos de proyección.

1- Vertical
2- De punta
3- Oblicua
4- Oblicua
5- Horizontal
6- Frontal
7- Que pasa por la línea de tierra
8- De perfil
9- De perfil, que pasa por la línea de tierra y está incluida en el primer bisector.

Los planos se representan por sus trazas que son las rectas donde cortan a los planos de proyección.

10- Vertical o proyectante horizontal
11- Oblicuo
12- Oblicuo
13- Horizontal
14- Frontal
15- De canto o proyectante vertical
16- De perfil
17- Que pasa por la línea de tierra
18- Paralelo a la línea de tierra.













Rectas y planos en sistema diédrico con sus respectivos nombres.



Incidencia

Incidir quiere decir estar en, pertenecer a, estar incluido en…, se utiliza mejor que estos vocablos por ser más genérico, ya que puede formularse una recta incide en un punto o un punto incide en una recta, pero no se puede decir una recta está incluida en un punto.
Una recta pertenece a un plano o incide en él si sus trazas están sobre las trazas del plano.
Un punto pertenece a un plano si está sobre una recta del plano.
Un punto pertenece a una recta si las proyecciones del mismo están sobre las proyecciones de la recta.
En los tres casos la recíproca es cierta, pudiendo eliminar las excepciones si utilizamos los 3 planos de proyección (planta, alzado y perfil).




La recta a pertenece al plano por tener sus trazas sobre las trazas del plano.












En diédrico: la recta r tiene sus trazas sobre las trazas del plano y al mismo tiempo es una recta de máxima pendiente del plano alfa por tener su proyección horizontal perpendicular a la traza horizontal del plano.
La recta de máxima pendiente es la que describiría un objeto que cayera por el plano, siguiendo la distancia más corta.




















Tenemos otra recta incidente en el plano pero de máxima inclinación por tener su proyección vertical perpendicular a la traza vertical del plano. Como la perpendicular a la traza vertical es la distancia más corta a la recta, en la práctica una recta de máxima inclinación sería la trayectoria de un móvil que se desplaza por el tejado (por el plano oblicuo) y que buscara al mismo tiempo la distancia más corta hacia el plano vertical.


















Si dos rectas se cortan determinan un plano, por lo que las trazas verticales de ambas pertenecen a la traza vertical del plano y las horizontales a la horizontal del plano.
Como las rectas se cortan en un punto común y las proyecciones de un punto siempre quedan en una vertical, las rectas se cortan en un punto cuyas proyecciones P1 P2 están alineadas en la vertical.




















Como las trazas de una recta que pertenece a un plano están en las trazas de éste, tenemos que la traza horizontal de la recta frontal Hr está sobre la traza horizontal del plano y la traza vertical de recta y plano inciden ya que por ser paralelas se cortan en el mismo punto, el del infinito.























Si consideramos ahora el plano de planta como en el alzado y éste como el de planta, la recta anterior se transforma en horizontal. La recta horizontal r pertenece al plano y el punto A a la recta r por tener su proyecciones sobre las de la recta. El punto pertenece también al plano por estar contenido en una recta del mismo.






















Si una recta y plano inciden y la recta tiene su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano, la proyección vertical de la recta es horizontal ya que si el plano es cortado por el plano horizontal de proyección según una dirección, un plano que seccionara al horizontal por la recta r provocaría las mismas direcciones en las secciones que el anterior: en planta una paralela a la traza y en alzado una paralela a la línea de tierra (según el teorema de que planos paralelos producen secciones paralelas).






















Un punto P perteneciente a un plano que pasa por la línea de tierra. Las proyecciones en planta y alzado del punto no serían suficientes para determinar si pertenece al plano, para ello se hace necesario dibujar el perfil del plano e incidir P’’’ sobre el mismo.
























Los próximos 4 ejercicios son rectas oblicuas incidentes en los siguientes planos: de canto o proyectante vertical, paralelo a la línea de tierra, oblicuo y vertical.












































Los ejercicios anteriores resueltos en sistema diédrico con las trazas de las rectas en las trazas de los planos respectivos.























Aquí tenemos distintos planos con rectas incidentes en los mismos:
o- oblicua, h- horizontal, p- de perfil, t- que pasa por la línea de tierra, f- frontal, a- paralela a la línea de tierra, u- de punta, v- vertical.














Aquí podemos observar el mismo dibujo en sus proyecciones diédricas en planta y alzado.

















Dados dos puntos B A que están situados en el segundo y cuarto cuadrante respectivamente, determinar las proyecciones de la recta que pasa por los dos puntos. Los puntos tienen por proyecciones B1 B2 A1 A2, se unen las proyecciones del punto del plano horizontal entre sí A1 B1 y de igual forma las del plano vertical A2 B2 así obtenemos las dos proyecciones de la recta, que son m1 m2.
Donde la proyección horizontal m1 corta a la línea de tierra, levantamos una vertical y obtenemos la traza vertical de la recta Vm.
Donde la proyección vertical corta a la línea de tierra, hacemos una recta de punta por ese punto hasta que corte a la proyección horizontal de la recta, obteniendo así la traza horizontal de la misma, que es Hm.
Tenemos que la recta m es una recta oblicua que pasa por los puntos dados que están en otro cuadrante distinto y cuyo tramo visible en el primer cuadrante es el que está comprendido entre sus trazas.


Aquí observamos el ejercicio en sistema diédrico, hemos unido las proyecciones horizontales entre sí A1 B1 y donde corta a la línea de tierra hacemos una vertical. En la intersección de esta vertical con el segmento que une los dos puntos correspondientes a la proyección vertical A2 B2, tenemos la traza vertical de la recta, Vm.
De igual forma la proyección vertical de la recta m2 corta a la línea de tierra en un punto por el que bajamos una vertical y donde ésta corta a la proyección horizontal m1 tenemos la traza de la recta Hm.
















En este caso tenemos la representación espacial de una recta oblicua definida por un punto del primer cuadrante A y otro del tercero B. Operamos de la misma forma que en el ejercicio anterior, unimos las proyecciones horizontales A1 B1 y donde corte a la línea de tierra hacemos una vertical, en la intersección de esta vertical con la proyección vertical de la recta obtenemos la traza vertical de la misma Vm.
Análogamente unimos las proyecciones verticales de los puntos y donde corta el segmento de unión de ambos a la línea de tierra hacemos una recta perpendicular a la misma y que esté en el plano horizontal. Esta recta corta a la proyección horizontal en la traza horizontal de la recta Hm.



El ejercicio resuelto en sistema diédrico: los puntos dados de la proyección horizontal A1 B1 se unen hasta que cortan a la línea de tierra en un punto, por éste se hace una recta vertical hasta que corte a la recta que une los dos puntos A2 B2, que es la proyección vertical de la recta. En la intersección de la proyección vertical de la recta m2 con esta vertical obtenemos la traza vertical de la recta Vm.
De igual forma unimos A2 B2 de la proyección vertical y donde esta recta corte a la línea de tierra hacemos una recta vertical que corta a la proyección horizontal en un punto Hm que es la traza horizontal de la recta. Observamos en esta recta en el ejercicio resuelto en el espacio que sólo tiene su tramo continuo en el primer cuadrante en la porción comprendida entre la traza vertical Vm y el punto A.
















Dados dos puntos que están situados en el segundo y cuarto cuadrante, se pide determinar las proyecciones de la recta que pasa por estos dos puntos.
Procedemos como en los ejercicios anteriores, unimos las proyecciones de los puntos del plano horizontal A1 B1 hasta que corten a la línea de tierra en un punto por el que hacemos una vertical, donde esta corte a la proyección vertical de la recta tenemos la traza vertical de la recta Vm. Operamos de igual forma para obtener la traza horizontal de la recta Hm.
Como esta recta pasa por el segundo, tercero y cuarto cuadrante, tenemos que ninguna de sus dos proyecciones, horizontal y vertical, son percibidas o vistas directamente en el primer cuadrante, de ahí que sus dos proyecciones deben aparecer discontinuas.



El ejercicio de antes resuelto en el sistema diédrico, se han unido los dos puntos, por un lado las dos proyecciones horizontales de los dos puntos A1 B1y por otro lado las dos proyecciones verticales A2 B2 de los dos puntos. Al unir estas proyecciones tenemos las dos proyecciones de la recta m1 m2 que cortan a la línea de tierra en dos puntos por los que hacemos verticales. Éstas verticales por cada una de las proyecciones de la recta (m2), cortan a la otra proyección (m1) determinando las trazas de la recta Hm.
Para determinar las partes que son visibles de la recta es imprescindible su representación espacial, ya que si bien en el ejercicio resuelto es fácil seguir el proceso deductivo extrapolable por otros ejercicios también del sistema diédrico, la representación de la recta en el espacio nos determina qué parte está en cada cuadrante.












Dada una recta a (en el dibujo de color rojo) en el primer cuadrante definida por sus proyecciones y un punto exterior M situado en el segundo cuadrante, determinar el plano que pasa por ambos elementos.
Se une la traza vertical de la recta Va con el punto dado M y donde la prolongación de esta recta de unión corta al plano horizontal tenemos un punto R de la traza del plano, que unido con la traza horizontal de la recta Ha determina la traza horizontal del plano TR que contiene al punto y a la recta dados.
Donde la traza horizontal del plano corta a la línea de tierra -en el punto R-, tenemos que por este punto pasa la traza vertical del plano. Sólo hay que unir el punto R con la traza vertical de la recta Va y tenemos la traza vertical del plano Va-R.
El procedimiento se basa en que dos rectas determinan un plano cuando se cortan, por lo que se trazó una recta que cortara a la recta dada y al mismo tiempo pasara por el punto dado M.



El ejercicio anterior resuelto en el sistema diédrico.
Tenemos la recta a dada por sus proyecciones a1 a2 y el punto del segundo cuadrante M con sus dos proyecciones M1 M2, unimos la proyección vertical del punto M2 con la traza vertical de la recta Va y obtenemos en la prolongación de esta línea un punto de intersección con la línea de tierra por el que trazamos una vertical z.
Por la traza vertical de la recta Va hacemos una vertical hasta que corta en la línea de tierra en el punto P. Éste punto lo unimos con la proyección horizontal. del punto dado M1 hasta que corta a las recta vertical z en el punto T.
Unimos el punto T con la traza horizontal de la recta Ha teniendo un nuevo punto de intersección con la línea de tierra R. Unimos este punto R con la traza vertical de la recta Va y tenemos ya la traza vertical del plano Va-R.